Střední denní pohyb 

Hodnoty nP=360/P jsou obecně nazývány Střední úhlové rychlosti (Mean Angular Velocities, MAV), viz Angular velocity.
Jestliže je perioda P dána ve dnech, mluvíme o Středním denním pohybu (Mean Day Motion, MDM). 

Jestliže planeta obíhá v daném okamžiku se střední rychlostí, je její pohyb někdy nazýván "pravý pohyb" ("true motion", střední pohyb). Jestliže je planeta ve stavu pravého (středního) pohybu, je její aktuální perioda rovna střední periodě. Skutečná rychlost pohybu se odchyluje od rychlosti pravého (středního)  pohybu.

Přesnost

Přesnost antických astronomických nástrojů nebyla lepší než cca 10’ (0.167 dg) - v porovnání s tím přesnost hodnot v době Edmunda Halleye dosahovala 10”.
Nicméně přesnost některých výsledků v antice byla velmi vysoká, např. Hipparchos určil MDM Země s přesností 0.0435” (0.000012 dg).  Hodnoty MDM dané v Almagestu (Claudius Ptolemaios) vedou -po korekci precese - k následujícím MDM pro Jupiter a Saturn: nJ=299,104581“ nS=120,422528“. Tyto hodnoty odpovídají  periodám J=3600/299,104581 * 360/365,25 = 11.862923 let a S=3600/120,422528 * 360/365,25 = 29.465040 let.
Bretagnonova teorie (VSOP) dává tyto hodnoty MDM: <nJ>=299.1283“ and <nS>=120.4547“, tj. periody: J=11.861983 let, S=29.457159 let. 
Pro rok 2000 uvádí NASA tyto aktuální hodnoty MDM : nJ=299.1124“ a nS=120.4943“. 

Perioda (I) nerovnosti Jupiter –Saturn se získá z poměru S:J v blízkosti rezonance 5:2:  I(J,S) = 1/(5/S-2/J) . Protože jmenovatel je malý, závisí výsledná hodnota silně na přesnosti středních oběžných period Jupitera a Saturna. Z Bretagnonových dat I(11.861983, 29.457158) = 883.3 let, z dat Ptolemaia I(11. 862923, 29.465040) = 909.0 let.

Náhodné odchylky ve středních pohybech Jupitera a Saturnu našel (v roce 1637) anglický astronom Jeremiah Horrocks (1619 – 1641). Edmunt Halley (1656-1742) si povšiml, že MAV Jupitera (Saturnu) se zvýšila (snížila)  v porovnání s antickými  hodnotami. Teorie planetárního pohybu založená na Newtonových zákonech pak došla k vzorci postupné změny: nJ = 299.1283611” – 0.000 000 089 81” T, nS = 120.4546453” + 0.000 002 836” T, 
kde T je čas měřený v Julianských stoletích (36525 dní) od 0 Ledna 1850 (antické hodnoty pro T=-20).

Edmund Halley dále upřesnil hodnotu pro Saturn na nS=120.4054”, potvrdil, že se  MDM Saturna (v porovnání s antikou) snížila a vyslovil názor, že změna je způsobena vzájemnými gravitačními poruchami Jupitera a Saturnu..
Johann Lambert (1728-1777) zjistil, že MDM Saturna se zvýšila v porovnání Halleyovou hodnotou o 0,02” (Saturn zrychlil) - a odtud začalo být jasné, že pozorovaný jev není postupná změna, ale harmonická vlna.

Podle pozorování 18.století bylo nJ=299,128361“, nS=120,454645“ a tedy 2nJ-5nS=-4,016503” (=-0,0000194725 rad). 
Pierre-Simon Laplace odvodil dlouhodobou harmonickou funkci (s hodnotou 2nJ-5nS ve jmenovateli)
a vypočítal, že se teoretické výsledky (které tuto funkci nezahrnuji) mohou odlišovat od skutečných poloh planet o 20’ (0.33 dg) pro Jupiter a o 50’ (téměř 1 dg) pro Saturn.

 Sinusoida

Předpokládejme, že Jupiter i Saturn byly ve stavu pravého (středního) pohybu v roce <t> = 1780 a že se vzájemně ovlivňují s Laplaceovou periodou I  = 4*220 = 880 years.  Bretagnonovy hodnoty středního pohybu jsou <nJ>=299.1283“, <nS>=120.4547“. 
Tyto hodnoty MDM pak můžeme přiřadit k rokům: -3500,-2620,-1740,-860,20,900,1780,2660,… 
a také k jejich středům:  -3060,-2180,-1300,-420,460,1340,2220,…
Rok 2000  je 220 let  po roce 1780 a pro tento rok máme NASA hodnoty (nJ=299.1124“, nS=120.4943“). 
Stejné hodnoty můžeme očekávat i v letech:  -3280,-2400,-1520,-640,240,1120,2000,2880,…

Definujme funkce:    
        Q = sin[ (t - <t>) * 2PI / I ],       
        nJ =   <nJ> - <aJ> *  Q,     
        nS =   <nS> + <aS> * Q 
a z uvedených hodnot (pro 2000 a 1780) vypočítejme amplitudy: 
        <aJ> = 299.1283“- 299.1124“ =0.0159“  and  <aS> = 120.4943“- 120.4547“ =0.0396“.

Nyní dosadíme všechny známé hodnoty: 
         Q = sin[ (t - 1780) * 2PI / 880 ],  
        nJ =   299.1283“ - 0.0159“ *  Q,   
        nS =   120.4547“ + 0.0396“ *  Q 

Pro roky 1340, 1560, 1780 a 2000 dostaneme tyto MDM hodnoty a aktuální (oskulační) periody.

Rok	Q	nJ	nS	Roky	J	S
1340	0	299.1283“	120.4547“	-3060,-2180,-1300,-420,460,1340,2220	11.8620 y	29.4572 y
1560	-1	299.1442“	120.4151“	-2840,-1960,-1080,-200,680,1560,2440	11.8614 y	29.4669 y
1780	0	299.1283“	120.4547“	-2620,-1740,-860,20,900,1780,2660	11.8620 y	29.4572 y
2000	1	299.1124“	120.4943“	-2400,-1520,-640,240,1120,2000,2880	11.8626 y	29.4475 y

Amplitudy

Jestliže jsou amplitudy <aJ>=0.0159“ and <aS>=0.0396“ změnami MDM, pak za rok dosáhnou přibližně:  <AJ>=0.0159“ * 365.25 =5.81“ a <AS>=0.0396“ * 365.25 = 14.46“ 

 Maximální odchylka od střední hodnoty se objevuje cca po 220-ti letech:
<AJ,max>= 5.81“*220 =1278“ and  <AS,max>= 14.46“*220=3181“
Tyto hodnoty odpovídají 1278“/60=21.3‘ pro Jupiter a 3181“/60=53.0‘ pro Saturn.
M.Somerville udává 19.78‘ a 48.04‘, Paul Schlyter 19.92‘ a 48.72‘.  

 Energie

Někteří vědci uvažují o spojení Laplaceova cyklu s pozorovaným tisíciletým cyklem sluneční aktivity. 
Pokud Jupiter získá - pro své vlastní urychlení - nějakou dodatečnou energii od Slunce, pak by ztráta sluneční energie mohla být pozorována. Roky v nichž  Q nabývá hodnoty -1: -9000,-8120,-7240,-6360,-5480,-4600,-3720,-2840,-1960,-1080,-200,680,1560,2440,… 
Rok 1560 odpovídá tzv. Suessovu minimu.

V letech 691 a 1561 nastala opozice Uranu proti ostatním vnějším planetám (rozdíl 870 let):

           

 Sluneční rotace

Synodická rotační perioda Slunce pozorovaná ze Země byla stanovena cca 27.275 dní.
V některých letech dříve (~Maunderovo minimum) byla nižší. 

1611-13	26,163 days
1625-26	24,913 days
1642-44	24,300 days

Bretagnonovy hodnoty

Střední pohyb Jupitera je v Bretagnonově VSOP82 teorii definován řádkem: LM = { 0.5995465, 52.969096500,-15e-7, 0.0}.
Zde hodnota 52.9690965 určuje změnu střední délky za století v radiánech: 
Odtud J  =  360 * 100 / (52.9690965 * 180/PI) = 36000/3034.905674=11.8619832 let. 
Hodnota value -15e-7 je term druhého řádu (dlohodobá změna).  Poruchy jsou počítány zvlášť. 

V teorii VSOP87 je pro totéž (včetně poruch) 915 termů, které musí být vyčísleny a sečteny pro jednu polohu Jupitera. Zde jsou první 3 termy, kde první řádka s délkou 0.599546 odpovídá hodnotě LM výše. V druhé řádce je term pro velkou nerovnost, třetí řádka patří rezonanci S/J = 2/1:
J   S                         A                         B                            C           
1/   0  0    0.59954649739 0.00000000000       0.00000000000  
2/   2 -5    0.00573506125 1.44396306420       7.11354700080  
3/   1 -2    0.00062308554 3.41857056095     103.09277421860 

Pak následují další řádky. 17-tý řádek reprezentuje střední pohyb Jupitera, kde hodnota 529.69096509460 (v radiánech za tisíciletí)  je:  
17/  1  0    0.00001824700 5.72883078185     529.69096509460 

Odtud dostáváme střední periodu Jupitera: 
J= 360 * 1000 / (529.69096509460 * 180/PI) = 36000/3034.905674=11.8619831585 let. 
Pak následuje ještě 900 dalších termů. Hodnoty A, B a C v řádku se dosazují do vzorce  v= A* Cos(B+ C*t) a sčítají, tedy hodnoty s malým A příliš výsledek neovlivňují.   

Tedy, periody mou být počítány z hodnot C v řádcích podle vztahu:
T = 2000PI/ C = 6283.1853/ C.  
Pro velkou nerovnost tak dostaneme: 6283.1853/7.113547 = 883.27 let. 
Pro rezonanci S/J = 2/1 je 6283.1853/103.09277 = 60.9469 let 
(povšimněme se, že je to Čínská 60-ti letá perioda modulovaná celým cyklem trojúhelníku konjuncí J-S: 
1/60.9469 = 1/59.579 – 1/2649.1).  

Planetární interakce